paradosso

qualcosa che sfida il senso comune (dal greco para=oltre e doxa=opinione) e che pone ogni mente logica in una posizione di indecidibilità.
Possono dare fastidio, perchè ci fanno dubitare delle nostre conoscenze o addirittura delle nostre credenze, ma poi spingono a ridefinire i nostri concetti.
Di solito un paradosso è una frase, ma può essere anche una figura e/o una illusione sensoriale.
In filosofia ed economia è sinonimo di "antinomia", ma in matematica l'antinomia è una vera contraddizione logica.
In linguistica è una figura retorica, come l'ossimoro

le confutazioni dei paradossi

altri aspetti

figure

rompicapo

i paradossi più noti

Epimenide (VI a.c.)

Lui, cretese, affermò: "Tutti i cretesi sono bugiardi", che equivale alla forma pura "io mento"

Protagora (V a. c.)

al filosofo stoico Protagora Cicerone attrubuisce la storia della causa e Diogene Laerzio gli attribuisce la storia del coccodrillo

Zenone (V a. c.)

ideò sei paradossi, due verso il pluralismo e quattro verso il movimento, introducendo il concetto di infinito

Eubulide (IV a.c.)

si chiese cosa avrebbe risposto un mentitore alla domanda "sei un mentitore?" e arrivò alla versione senza interlocutore "questa frase è falsa"

la nave di Teseo

fù conservata intatta nel corso degli anni, sostituendo le parti che via via si deterioravano: è la nave di Teseo?

Aristotele (384-322 a.C.)

propose il paradosso nella forma dello spergiuro ("giuro di rompere questo giuramento") e in quella del disobbediente ("ti ordino di disobbedirmi")

Giovanni Buridano (?-1358)

introduce due interlocutori: Socrate afferma: "Platone dice il falso", e Platone ribatte: "Socrate dice il vero".

Galileo (1564-1642)

sosteneva che la totalità dei numeri pari deve essere esattamente uguale alla totalità dei numeri interi: infatti per ogni numero esiste il suo doppio, che è pari. Ma non è così, i pari sono la metà: da questo comportamento dell'infinito, che sembra paradossale, discende il pardosso delle due buste.

Miguel de Cervantes nel 1615

raccontò nel Don Chisciotte (II, 51) la storia del ponte dei bugiardi

il matematico Philip Jourdain nel 1913

propone la forma più essenziale: "L'affermazione seguente è vera.", "L'affermazione precedente è falsa".

Bertrand Russel nel 1918

riformulò il paradosso in una delle forme più note: "chi rade un barbiere che rade le persone che non si radono da sole?".

Hempel e i corvi neri

Carl Gustav Hempel negli anni 40 cercò di dimostrare i limiti del procedimento logico induttivo: dopo aver osservato un milione di corvi neri, l'induziomne ci porta a credere che "tutti i corvi sono neri" e al suo equivalente "tutte le cose che non sono nere, non sono corvi". Così l'osservazione di una mela rossa conferma l'assunto che "tutti i corvi sono neri".

a John Cage

capitò di dire "non ho niente da dire" e si rese conto che lo stava dicendo. Rimase impressionato e compose il famoso pezzo per piano 4'33", consistente di quattro minuti e trentatre secondi di silenzio.

da Wikipedia:

Piergiorgio Odifreddi:

 

i paradossi di Zenone

la pluralità delle cose

I le cose sono allo stesso tempo un numero finito e un numero infinito: sono finite in quanto esse sono nè piùnè meno di quante sono, e infinite poich&ecute; tra la prima e la seconda ce n'è una terza e così via.

II se le cose non hanno grandezza, le cose da esse composte non avranno grandezza, mentre se le cose hanno una certa grandezza, le cose composte da infinite cose hanno una grandezza infinita.

il movimento

I non si può arrivare all'altra parte di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metàe così via senza quindi mai riuscire ad arrivare dall'altra parte.

II se Achille venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e le concedesse un vantaggio, non riuscirebbe mai a raggiungerla. Infatti Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata inizialmente dalla tartaruga che, nel frattempo, si sarà spostata in avanti; così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga non arriverà mai ad essere pari a zero.

III La freccia appare in movimento ma, in realtà, è immobile: in ogni istante infatti occupa solo uno spazio pari a quello della sua lunghezza; e poichè il tempo in cui la freccia si muove è fatto di infiniti istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi.

IV se due persone in uno stadio si vengono incontro, risulta l'assurdo logico che la metà del tempo equivale al doppio.

 

le storie

la storia della causa (attribuita a Protagora)

Il filosofo Protagora accettò come suo studente di legge un ragazzo che non poteva permettersi di pagarlo subito, con la clausola che egli l'avrebbe pagato dopo aver vinto la sua prima causa. Poiché, dopo gli studi, lo studente non si decideva a praticare l'avvocatura e quindi non lo pagava, Protagora lo citò in giudizio. Lo studente decise di difendersi da solo.
Protagora sosteneva che, se avesse vinto la causa, avrebbe dovuto essere pagato in base alla sentenza. E se avesse perso, avrebbe dovuto essere pagato in base all'accordo.
Lo studente sosteneva che, se avesse vinto la causa, non avrebbe dovuto pagare in base alla sentenza. E se avesse perso, non avrebbe dovuto pagare in base all'accordo.

la storia del coccodrillo (attribuita a Protagora)

Un coccodrillo rapì una bambina ma, commosso di fronte alle lacrime della madre, propose il seguente patto: se la donna avesse indovinato che cosa esso avrebbe fatto della bambina, gliela avrebbe restituita; se invece non avesse indovinato, se la sarebbe mangiata. La donna rispose: "Ti mangerai mia figlia". Se il coccodrillo l'avesse mangiata, la donna avrebbe dunque indovinato, ed avrebbe dovuto riavere la bambina; se invece l'avesse restituita, allora la donna non avrebbe indovinato, e la bambina avrebbe dovuto essere mangiata. La risposta della donna mette dunque il coccodrillo di fronte ad un impossibile dilemma: qualunque cosa esso faccia, non mantiene la sua promessa.

la storia del ponte dei bugiardi (Don Chisciotte (II, 51), Miguel de Cervantes, 1615)

Quando Sancio Panza era governatore di Barataria, gli si presentò da risolvere il caso di un tale che era arrivato ad un ponte, che la legge permetteva di poter attraversare solo dopo aver dichiarato il motivo per cui si voleva attraversarlo: se la dichiarazione era veritiera, il permesso era accordato; se essa era mendace, la pena era l'impiccagione. Il tale aveva dichiarato di voler attraversare il ponte solo per essere impiccato in base alla legge. Sancio Panza noto che, poichè il tale diceva sia il vero che il falso, si poteva lasciar attraversare la parte che diceva il vero, ed impiccare quella che diceva il falso.
Una divertente variazione sul tema è stata narrata nel 1981 da Hans Freudenthal. Un giorno un padre, dopo che il figlio ne aveva detta una grossa, lo trascinò al Ponte dei Bugiardi, dicendogli che esso era così chiamato perchè sarebbe crollato se un bugiardo l'avesse attraversato. Il bambino si spaventò, e confessò la bugia. Ma il ponte crollò ugualmente quando il padre lo attraversò, perché egli aveva ovviamente mentito: non esiste infatti nessun Ponte dei Bugiardi.
 

il paradosso delle due buste

In un gioco a premi si può scegliere tra due buste che contengono premi uno doppio dell'altro: è conveniente cambiare busta, una volta conosciuto il valore del premio contenuto in una busta (senza sapere se si tratta di quello maggiore o di quello minore)?
Il ragionamento logico suggerisce di scegliere sempre l'altra busta. Infatti se si trova un premio di valore A, certamente nell'altra busta è contenuto un premio di valore A/2 oppure un premio di valore 2A. Allora conviene certamente cambiare: se va male, si perderebbe solo la metà, se va bene si guadagna il doppio!
Ma questo funziona solo se i premi sono teoricamente infiniti, infatti le grandezze infinite si comportano in modo paradossale, o a dir meglio contro-intuitivo. Per approfondire:
Wikipedia
 

illusioni sensoriali

  • illusioni ottiche
  • due punte vicine si distinguono sui polpastrelli. ma non sulla schiena
  • si immergono le mani in due bacinelle di acqua una calda ed una fredda; dopo un paio di minuti si immergono enrtambe in una bacinella tiepida, e si avranno sensazioni contrastanti: fredda e calda.
 

le confutazioni dei paradossi

i paradossi di Zenone

Zenone assume implicitamente che la somma di infiniti termini debba essere infinita. La prima dimostrazione che ciò non è sempre vero (convergenza delle serie infinite) è stata data solo 2000 anni dopo (XVI secolo).
I paradossi della freccia e dello stadio sono stati confutati con la tepria dei numeri reali, completata solo alla fine del XIX secolo.
Il paradosso delle masse dello stadio ha dovuto attendere la teoria della relatività ristretta e quindi ben 2500 anni!

la nave di Teseo

pone una questione metafisica: persiste l'identità originaria in un oggetto le cui parti cambiano nel tempo? E' consigliabile rispondere di sì, altrimenti ptremmo andare in crisi riflettendo sul fatto che tutta la materia che ci compone è sicuramente cambiata dalla nostra nascita. Ed è cambiata anche la forma!
Cero non ne dubitano gli shintoisti giapponesi, che abbattono e ricostruiscono ogni 20 anni il loro tempio più importante!

soluzione linguistica

Aristotele ha cassato il problema affermando che le frasi contradditorie sono proposizioni mal formate e quindi non hanno senso.
Bertrand Russell notò che i problemi del linguaggio derivano dalla combinazione di una negazione con un autoriferimento, quindi non inficiano il concetto di vero e falso.
Oggi si parla di livelli nel linguaggio, per cui le frasi che parlano di vero o falso sono ad un livello superiore (metalinguaggio).

soluzione logica

Ecco alcune proposte: le frasi paradossali non sono nè vere, nè false (logica a più valori); il vero e il falso non sono assoluti, ma relativi ad un certo momento a cui si riferisce (logiche temporali). Ma questi tentativi di soluzione non sono risolutivi. infatti si possono facilmente ottenere altri paradossi.
Bertrand Russell propose la teoria dei tipi che stabilisce una gerarchia di livelli logici. Sono di tipo zero quelli che indicano gli individui, di tipo uno quelli che indicano le proprietà degli individui, di tipo due quelli che indicano le proprietà delle proprietà degli individui, ecc.. Il barbiere è una persona fisica, quindi basta dire che un barbiere così non esiste. Il paradosso di Epimenide va tradotto in: "tutte le proposizioni di primo ordine da me affermate sono false". In tal modo egli afferma una proposizione di secondo ordine, per cui non cade in nessuna contraddizione. Ma ci sono voluti 2500 anni.
 

altri aspetti

la matematica

Ciò che rese famoso l'enunciato di Russel, non certo nuovo, fu il fatto che esso si applicava non al linguaggio, ma alla matemetica, che i quegli anni veniva riformulata per fondarla sulla nozione di insieme, invece che di figura geometrica o di numero: il paradosso faceva dubitare del nuovo approccio.

il buddismo zen

In alcune scuole buddiste si trova la pratica kan-na-zen (lo zen della contemplazione della parola) che utilizza i koan, paradossi logici che vanno oltre la coscienza e il senso comune e creano un opprimente senso del dubbio cui si può reagire con uno stato di vuoto mentale adatto alla meditazione. Hakuin (1685-1768) ha descritto circa 1700 koan, divisi in sei gradi di difficoltà: occorrono circa trent’anni di studio per padroneggiare l’intera materia e diventare un maestro, ma l'addestramento abituale si limita ad una cinquantina di koan.

la schizofrenia

Se aggiugiamo il tema dell'obbedianza alla storia del barbiere, otteniamo una storia che comincia a diventare inquietante: "Un ufficiale ordina ad un soldato di radere tutti e soli i soldati che non si radono da soli.". Oltre al paradosso, troviamo l'impossibilità di mettere in discussione l'ordine: in questi casi di parla di doppio vincolo. L'esposizione duratura a doppi vincoli può portare a schizofrenia. Si veda l'iteressantissimo articolo di
Piergiorgio Odifreddi. Dunque forse normale è colui che conosce la logica, almeno a livello intuitivo: "o si è logici o si è patologici"?